$\frac{l i m}{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + x - 1}} = ?$

Created: 4 years ago | Updated: 10 months ago

Updated: 10 months ago

ক

1
খ

x
গ

2
ঘ

334

ব্যাখ্যাঃ বিস্তারিত সমাধান: প্রদত্ত লিমিটটি হলো:

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1+x}-1}$

প্রথমে, সরাসরি $x = 0$ বসিয়ে দেখি। আমরা পাব $ \frac{0}{\sqrt{1+0}-1} = \frac{0}{1-1} = \frac{0}{0} $। এটি একটি অনির্ণেয় আকার (indeterminate form)। এই ধরনের অনির্ণেয় আকার দূর করার জন্য আমরা অনুবন্ধী রাশি (conjugate) দ্বারা গুণ করতে পারি অথবা L'Hôpital's Rule ব্যবহার করতে পারি। এখানে আমরা অনুবন্ধী রাশি দ্বারা গুণ করার পদ্ধতিটি ব্যবহার করব।

হর-এর অনুবন্ধী রাশি হলো $\sqrt{1+x}+1$। এখন আমরা লব ও হরকে এই অনুবন্ধী রাশি দিয়ে গুণ করব:

$= \lim_{x \to 0} \frac{x}{(\sqrt{1+x}-1)} \times \frac{(\sqrt{1+x}+1)}{(\sqrt{1+x}+1)}$

হর-এ $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ সূত্রটি প্রয়োগ করব, যেখানে $a = \sqrt{1+x}$ এবং $b = 1$:

$= \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1+x}+1)}{(\sqrt{1+x})^2 - 1^2}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1+x}+1)}{(1+x) - 1}$

হর-কে সরল করলে পাই:

$= \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1+x}+1)}{x}$

$x \to 0$ হওয়ার অর্থ হলো $x \neq 0$। তাই আমরা লব ও হর থেকে $x$ কে বাতিল (cancel) করতে পারি:

$= \lim_{x \to 0} (\sqrt{1+x}+1)$

এখন, $x = 0$ বসিয়ে লিমিটের মান নির্ণয় করব:

$= \sqrt{1+0}+1$

$= \sqrt{1}+1$

$= 1+1$

$= 2$

অতএব, নির্ণেয় লিমিটের মান 2।

💡 শর্টকাট টেকনিক (L'Hôpital's Rule):

যেহেতু লিমিটটি $\frac{0}{0}$ আকারের, আমরা L'Hôpital's Rule ব্যবহার করতে পারি। এই নিয়মানুসারে, যদি $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ অনির্ণেয় আকার $\frac{0}{0}$ বা $\frac{\infty}{\infty}$ হয়, তাহলে $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$।

এখানে $f(x) = x$ এবং $g(x) = \sqrt{1+x}-1$।

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$

$g'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{1+x}-1) = \frac{d}{dx}((1+x)^{1/2}-1)$

$= \frac{1}{2}(1+x)^{1/2-1} \cdot \frac{d}{dx}(1+x) - 0$

$= \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2} \cdot 1$

$= \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$

এখন L'Hôpital's Rule প্রয়োগ করে পাই:

$= \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}}$

$= \lim_{x \to 0} 2\sqrt{1+x}$

এখন $x = 0$ বসিয়ে পাই:

$= 2\sqrt{1+0} = 2\sqrt{1} = 2 \times 1 = 2$

উভয় পদ্ধতিতেই একই ফলাফল পাওয়া যায়।

Satt AI

1 week ago

MCQ: 672

Practice

ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক

ম্যাট্রিক্স (Matrix)

ম্যাট্রিক্স হলো সংখ্যা, প্রতীক, অথবা অভিব্যক্তির আয়তাকার বিন্যাস। একাধিক সারি (row) এবং কলাম (column) নিয়ে গঠিত একক সংগ্রহই হচ্ছে ম্যাট্রিক্স। এটি লিনিয়ার অ্যালজেব্রার একটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান। ম্যাট্রিক্স সাধারণত $ m \times n $ আকারে উপস্থাপিত হয়, যেখানে $ m $ নির্দেশ করে সারির সংখ্যা এবং $ n $ নির্দেশ করে কলামের সংখ্যা। ম্যাট্রিক্সের প্রত্যেকটি উপাদান নির্দিষ্ট স্থানে থাকে এবং এটি একটি নির্দিষ্ট মান প্রকাশ করে।

ম্যাট্রিক্সের ব্যবহার

ম্যাট্রিক্স বিভিন্ন গাণিতিক, প্রকৌশল, বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে যেমন ইমেজ প্রসেসিং, ডেটা বিশ্লেষণ, 3D গ্রাফিক্স এবং মেশিন লার্নিং ইত্যাদি ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয়। এটি লিনিয়ার সমীকরণ সমাধানে এবং ভেক্টর ও স্পেস ট্রান্সফরমেশনে সহায়ক।

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ

বর্গাকার ম্যাট্রিক্স (Square Matrix): সারি ও কলামের সংখ্যা সমান হলে সেটিকে বর্গাকার ম্যাট্রিক্স বলা হয়। যেমন, $ 2 \times 2 $ বা $ 3 \times 3 $ ম্যাট্রিক্স।
আয়তাকার ম্যাট্রিক্স (Rectangular Matrix): সারি এবং কলামের সংখ্যা সমান না হলে সেটি আয়তাকার ম্যাট্রিক্স।
শূন্য ম্যাট্রিক্স (Zero Matrix): সব উপাদান শূন্য হলে তাকে শূন্য ম্যাট্রিক্স বলা হয়। যেমন, $ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $।
ঐক্য ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix): বর্গাকার ম্যাট্রিক্স, যেখানে প্রধান কর্ণে ১ এবং বাকি সব স্থানে শূন্য থাকে। এটি $ I $ দ্বারা প্রকাশিত হয়, যেমন $ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $।
ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স (Diagonal Matrix): বর্গাকার ম্যাট্রিক্স, যেখানে শুধুমাত্র প্রধান কর্ণের উপাদানগুলি শূন্য নয়, আর সব উপাদান শূন্য।

নির্ণায়ক (Determinant)

নির্ণায়ক হলো ম্যাট্রিক্সের একটি স্কেলার মান যা ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং তার বিপরীত (inverse) থাকলে সেটি সনাক্ত করতে সাহায্য করে। এটি শুধুমাত্র বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের জন্য সংজ্ঞায়িত এবং $ |A| $ বা $ \text{det}(A) $ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। নির্ণায়ক একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিমাপ কারণ এটি বলে দেয় যে একটি ম্যাট্রিক্স রৈখিক স্বাধীন (linearly independent) কিনা এবং সেটির বিপরীত (inverse) আছে কিনা।

নির্ণায়কের গাণিতিক সংজ্ঞা

ধরা যাক একটি $ 2 \times 2 $ ম্যাট্রিক্স $ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $, তাহলে এর নির্ণায়ক:

\[
|A| = ad - bc
\]

নির্ণায়কের ব্যবহার

লিনিয়ার সমীকরণের সমাধান: নির্ণায়ক ব্যবহার করে সমীকরণ সমাধান করা যায়, যেমন ক্রেমার নিয়ম।
ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স: যদি নির্ণায়ক শূন্য না হয়, তবে ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স থাকে।
বক্রতা নির্ণয়: নির্ণায়ক ব্যবহার করে একটি ফাংশনের বক্রতা বা আকার নির্ধারণ করা যায়।
ভেক্টর স্পেস ট্রান্সফরমেশন: নির্ণায়ক বিভিন্ন গাণিতিক ট্রান্সফরমেশন নির্ধারণে ব্যবহার হয়।

নির্ণায়ক গণনার নিয়ম

$ 2 \times 2 $ ম্যাট্রিক্স: উপরের নিয়মে আমরা $ |A| = ad - bc $ পেয়েছি।
$ 3 \times 3 $ ম্যাট্রিক্স: ধরা যাক, $ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} $। এর নির্ণায়ক হবে:

\[
|A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
\]

বড় আকারের ম্যাট্রিক্স: নির্ণায়ক গণনা করা বড় ম্যাট্রিক্সের জন্য অপেক্ষাকৃত জটিল, সাধারণত ল্যাপলেস এক্সপানশন বা রো রিডাকশন ব্যবহার করা হয়।

সারসংক্ষেপ
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক গাণিতিক বিশ্লেষণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। ম্যাট্রিক্সের ব্যবহার বিভিন্ন গণিত ও প্রকৌশল ক্ষেত্রে সমাধান প্রক্রিয়া সহজতর করে, আর নির্ণায়ক আমাদের ম্যাট্রিক্সের বিশেষ বৈশিষ্ট্য বুঝতে সাহায্য করে, যা সমীকরণ সমাধান এবং অন্যান্য গাণিতিক প্রয়োগে বিশেষ ভূমিকা পালন করে।

$\frac{l i m}{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + x - 1}} = ?$

ম্যাট্রিক্সের ব্যবহার

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ

নির্ণায়কের গাণিতিক সংজ্ঞা

নির্ণায়কের ব্যবহার

নির্ণায়ক গণনার নিয়ম

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

limx→0x1+x-1=?

ম্যাট্রিক্সের ব্যবহার

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ

নির্ণায়কের গাণিতিক সংজ্ঞা

নির্ণায়কের ব্যবহার

নির্ণায়ক গণনার নিয়ম

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

$\frac{l i m}{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + x - 1}} = ?$